La division euclidienne est une opération mathématique qui permet de diviser un nombre par un autre. C’est une opération très utilisée en mathématiques, notamment pour résoudre des équations du second degré. Nous allons voir dans cet article comment faire une division euclidienne et comment l’utiliser pour résoudre des problèmes.
La division euclidienne : c’est quoi ?
La division euclidienne est une méthode de calcul utilisée pour déterminer le quotient d’un entier par un autre. Cette division peut être effectuée en utilisant différentes formules, dont la plus simple est celle-ci :
Si a et b sont deux entiers positifs, alors :
- Si a est compris entre 0 et b, on divise tout simplement par b.
- Si a est supérieur à b, on divise a par b.
A quoi ça sert ?
La division euclidienne est une opération qui permet de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. C’est une technique utilisée couramment dans la résolution des équations du second degré et dans d’autres cas simples, comme par exemple l’étude du théorème de Pythagore.
La division euclidienne sert notamment à résoudre les problèmes suivants:
- Diviser un nombre par un autre nombre entier
- Calculer le PGCD (plus grand commun diviseur) d’un ensemble de nombres
Comment on fait ?
La division euclidienne est une opération qui permet de diviser un nombre par une autre. Elle peut être effectuée aussi bien à l’aide d’un tableur que d’une calculatrice.
Il existe plusieurs manières de réaliser cette opération.
La division euclidienne du produit par la somme des diviseurs est évidemment la plus simple, mais elle ne permet pas toujours de tomber sur le résultat souhaité. C’est pourquoi il faut connaître d’autres méthodes et les utiliser au besoin.
La division euclidienne du produit par la différence des carrés est également très utile, car elle permet d’obtenir le reste sans connaître le quotient exact du dividende par le diviseur. Pour obtenir un résultat en quatre chiffres après la virgule, on commence par soustraire à ce nombre tous les multiples de 3 sauf 9 (3 x 1 = 3 ; 4 x 1 = 4 ; 6 x 1 = 6 ; 8 x 1 = 8). On retranche ensuite tous les multiples de 2 sauf 5 (2 x 2 = 4 ; 3 x 2 = 6 ; 5 x 2 = 10). Enfin, on retranche tous les multiples de 1 sauf 7 (1 x 7 = 7 ; 2 x 7 = 14 ; 3 x 7 = 21).
Le reste final s’obtient en multipliant le numérateur et le dénominateur par 100 : 4 + 21 + 14 + 7 + 21 / 100 =
Pourquoi ça marche ?
La division euclidienne est une méthode de calcul, qui a été découverte par le mathématicien grec Euclide. Cette méthode est très utile pour résoudre des problèmes de mathématiques, tels que les problèmes d’addition et de soustraction.
La division euclidienne permet également de diviser un grand nombre en plusieurs petits nombres (ou encore l’inverse). Elle peut être utilisée pour obtenir la valeur approchée d’un quotient ou encore le reste après avoir effectué une division à l’aide d’une autre méthode.
Et si on a un nombre décimal ?
Vous avez peut-être déjà eu l’occasion d’utiliser la division euclidienne. Cette opération mathématique très utilisée permet de réduire un nombre entier à un autre nombre entier, plus petit. Par exemple: 5/2 = 2.
Le même calcul peut être effectué avec des nombres décimaux. Comment faire? Il est possible de diviser un nombre décimal par une puissance de 10, soit en faisant abstraction du zéro ou bien en le gardant comme chiffrage final :
- Prenons l’exemple du quotient 4/10 = 0,4 . Pour diviser 4 par 10 il faut retirer les chiffres après la virgule.
- Diviser le résultat obtenu par 10 à la place de multiplier.
On peut aussi diviser des polynômes !
Dans cet exercice, nous allons réaliser la division euclidienne d’un polynôme par un polynôme. Pour ce faire, nous allons utiliser la formule de distributivité : (a+b)x = ax + bx + … + bnx
Nom: Division Euclidienne Exercice 3
Enfin, comment on fait pour trouver le PGCD avec la division euclidienne ?
Le PGCD est une opération qui permet de trouver le plus grand commun diviseur d’un ensemble fini. Pour ce faire, il suffit de diviser cet ensemble en sous-ensembles tels que chaque sous-ensemble ne contient qu’un seul élément et que leur somme soit égale à l’entier dont on cherche le PGCD. En d’autres termes, pour trouver le PGCD avec la division euclidienne, il faut diviser l’ensemble en parties distinctes telles que chaque partie ne contient qu’un seul élément et les produits des différents nombres qui composent chaque partie sont égaux à un des entiers. Dans cette situation, comment procède-t-on ? Il existe trois manières pour résoudre cette question :
- Par la méthode du calcul mental
- Par la méthode par récurrence
- Par la méthode par réduction
Encore plus fort : le LCM !
Encore plus fort : le LCM !?
Pour conclure, la division euclidienne est une opération simple, mais pas aussi simple qu’il y paraît. Elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la cryptographie et l’algorithmique. Pour faire une division euclidienne on doit disposer de deux grands nombres entiers. Le calcul du quotient se fait en divisant par le plus grand des deux nombres, puis en multipliant par le plus petit.